Знаходження параметричних рівнянь ізотропних ліній за допомогою гіперболічних функцій та утворення мінімальних поверхонь

Abstract

Здійснено аналітичний опис ізотропних ліній нульової довжини та мінімальних поверхонь за допомогою функцій комплексної змінної. Використано інтегральні залежності утворення уявних ізотропних ліній, знайдено з умови рівності нулю диференціала дуги просторової лінії. Параметричні рівняння ізотропних ліній знайдено за допомогою функцій u t cth k t ; v t i csch k t , де i уявна одиниця, k const , які задовольняють умову 1 2 2 u v . Аналітичний опис мінімальних поверхонь та приєднаних мінімальних поверхонь здійснено у комплексному просторі з ізотропними лініями у ролі ліній сітки переносу. Наведено вирази коефіцієнтів першої квадратичної форми утворених мінімальних поверхонь. Досліджено, що для зазначених функцій u u t ; v v t , які задовольняють умову 1 2 2 u v , можна знайти аналітичний опис двох різних просторових ізотропних ліній нульової довжини за допомогою функцій комплексної змінної. Кожній ізотропній лінії відповідає мінімальна поверхня та приєднана мінімальна поверхня, які мають подібні властивості кривини поверхні. Використання функцій комплексної змінної дає змогу отримати нескладний аналітичний опис мінімальних поверхонь та досліджувати їх конструктивні властивості. Перспективи подальших досліджень полягають у визначенні диференціальних характеристик утворених мінімальних поверхонь для оптимізації інженерних методів проектування поверхонь технічних форм.